Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов

Тезисы докладов и стендовые доклады десятой школы-конференции.

Видеозаписи: на Mathnet и на Youtube (лекции, пленарные доклады, секционные доклады).

1) Авдеев Роман Сергеевич, «Чудесные многообразия в теории сферических многообразий»

В теории алгебраических групп преобразований видное место занимают сферические многообразия — это алгебраические многообразия, снабжённые регулярным действием связной редуктивной группы $G$ таким образом, что борелевская подгруппа $B \subset G$ обладает плотной открытой $B$-орбитой. Наиболее известные примеры сферических многообразий — торические многообразия, многообразия флагов и симметрические пространства. С самого начала изучения сферических многообразий в 1980-е гг. внимание исследователей привлекала задача их классификации. Эта задача естественным образом разбивается на две независимых подзадачи: во-первых, классифицировать всевозможные однородные сферические многообразия (они называются сферическими однородными пространствами), а во-вторых, для каждого сферического однородного пространства описать его всевозможные открытые эквивариантные вложения. Полное решение второй подзадачи было известно ещё на заре развития этой науки благодаря знаменитой теории Луны–Вюста открытых эквивариантных вложений однородных пространств. Данная теория позволяет описать все сферические многообразия с фиксированной открытой $G$-орбитой в терминах так называемых цветных вееров, которые обобщают обычные вееры, используемые для классификации торических многообразий. Задача же классификации сферических однородных пространств оказалась гораздо более сложной и потребовала для своего решения ещё нескольких десятилетий. Принципиальный сдвиг в этом направлении произошёл в 2001 г. благодаря работе Луны, в которой он свёл задачу к задаче классификации так называемых чудесных многообразий (по-английски «wonderful varieties») и сформулировал гипотезу об их полном комбинаторном описании. Чудесные многообразия — это гладкие полные $G$-многообразия, обладающие плотной открытой $G$-орбитой и удовлетворяющие дополнительным условиям на конфигурацию остальных $G$-орбит. Эти многообразия являются сферическими и включают в себя многообразия флагов. В данном курсе планируется обсудить упомянутые выше сюжеты, чудесные многообразия и два различных подхода к доказательству гипотезы Луны, один из которых, инициированный самим Луной в той же работе 2001 г., в итоге привёл к успеху.

2) Гайфуллин Сергей Александрович, «Инвариант Макар-Лиманова и автоморфизмы аффинных алгебраических многообразий»

Пусть $X$ — аффинное алгебраическое многообразие над полем $k$. Алгебраические подгруппы в группе регулярных автоморфизмов $X$, изоморфные аддитивной группе поля $k$ соответствуют локально нильпотентным дифференцированиям алгебры регулярных функций $k[X]$. Напомним, что локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД) данной алгебры $A$ называется такой линейный оператор $\delta\colon A\rightarrow A$, удовлетворяющий тождеству Лейбница $\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b$, что для любого $a\in A$ найдётся натуральное $n$ с условием $\delta^n(a)=0$.

В 1996 году Леонид Макар-Лиманов предложил рассмотреть пересечение ядер всех ЛНД данной алгебры. Впоследствии это подкольцо получило название инвариант Макар-Лиманова и стало обозначаться $\mathrm{ML}(A)$. Слово «инвариант» отражает тот факт, что данное подкольцо инвариантно относительно регулярных автоморфизмов алгебры.

В курсе лекций будет рассказано некоторое количество техник полезных для вычисления инварианта Макар-Лиманова алгебр (многообразий). Также мы рассмотрим два применения инварианта. Первое — применение для доказательства неизоморфности многообразий. Если две алгебры имеют неизоморфные инварианты Макар-Лиманова, то они не изоморфны. Именно этому применению инвариант обязан своей известностью. Классический пример — это доказательство неизоморфности кубики Кораса-Расселла, которая задаётся в четырёхмерном пространстве уравнением ${x+x^2y+z^2+t^3=0}$, и трёхмерного аффинного пространства. Второе — применение для описания группы автоморфизмов данного многообразия. Оказывается, что знание того, что некоторое подкольцо инвариантно, бывает полезно для изучения всей группы автоморфизмов. Также в лекциях мы рассмотрим аналоги инварианта Макар-Лиманова: инвариант Дерксона и некоторые модификации этих двух инвариантов.

Записки лекций

3) Кузнецов Александр Геннадьевич, «Автоморфизмы трехмерных многообразий Фано»

Многообразия Фано составляют наиболее важный класс рационально связных (то есть близких к рациональным) проективных алгебраических многообразий. Классификация гладких трехмерных многообразий Фано, полученная в работах Дж.Фано, В.Исковских, Ш.Мори и Ш.Мукаи — одна из жемчужин алгебраической геометрии XX века. В курсе я расскажу о наиболее интересных трехмерных многообразиях Фано, в первую очередь об «основной серии» (многообразиях с числом Пикара 1) и о их группах автоморфизмов.

Ссылка на статью к курсу лекций и записки курса, прочитанного Ю.Г. Прохоровым в НОЦ МИАН.

4) Неретин Юрий Александрович, «Умножения двойных классов смежности и шлейфы бесконечномерных групп»

Пусть $G$ — группа, $K$ — ее подгруппа, пусть $K\backslash G/K$ — пространство двойных классов смежности. Оказывается, что для «бесконечномерных групп» $G$ это фактор-пространство обладает естественным ассоциативным умножением. Естественность, например, означает, что для любого унитарного представления группы $G$ в пространстве $K$-неподвижных векторов действует полугруппа двойных классов (первый такой пример был обнаружен Исмагиловым в 1960гг.). Это бывает, в частности, для бесконечномерных групп матриц (над вещественным, конечным или $p$-адическим полем), для симметрических групп. Эти полугруппы удается явно описывать, и это приводит, с одной стороны, к неожиданным алгебраическим структурам, а с другой — к явным описаниям фактор-пространств на комбинаторном или геометрическом языке, причем эти описания работают и в конечномерной ситуации. Цель лекций — явные описания инвариантов и мультипликативных структур (унитарные представления будут присутствовать лишь в качестве необходимого фона).

В частности, предполагается обсудить такие примеры:

$G$ — произведение нескольких бесконечных симметрических групп, $K$ — диагональная подгруппа (или меньшая симметрическая подгруппа в диагонали).
$G$ — бесконечномерная унитарная группа, $K$ — ортогональная подгруппа меньшего размера.

5) Панов Тарас Евгеньевич, «Слоения, возникающие из конфигураций векторов, двойственность Гейла и момент-угол многообразия»

Ссылка на описание лекций

6) Петров Виктор Александрович, «Квадратичные формы и мотивы Чжоу»

Пусть $F$ — поле характеристики не два. Пифагоровым числом поля $F$ назовем такое наименьшее число $n$, что любой элемент поля, представимый в виде суммы нескольких квадратов, представим уже в виде суммы $n$ квадратов. Например, пифагорово число поля вещественных чисел равно $1$, конечного поля равно $2$, а по теореме Лагранжа о сумме четырех квадратов пифагорово число поля рациональных чисел равно $4$.

Можно предположить, что пифагорово число всегда является степенью двойки. Но оказывается, что для любого натурального $n$ существует поле с пифагоровым числом $n$. Что удивительно, для своего доказательства этот элементарный по формулировке факт требует привлечения тонких понятий из теории квадратичных форм (размерность Ижболдина) и мощной техники мотивов Чжоу. Конечно, эта теория имеет и другие применения, некоторые из которых я упомяну в курсе.

	Школы-конференции
	Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов
	2009 2011 2012 2014 2015 2017 2018 2020 2021 2023 2024 28 января - 2 февраля 2023 г., Москва
	Лаборатория алгебраических групп преобразований НИУ ВШЭ Математический институт имени В.А. Стеклова РАН Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
О школе Расписание Лекционные курсы Сборник тезисов и материалы курсов Программный и организационный комитеты Зарегистрированные участники Расположение Фотографии На главную	Материалы школы-конференции Тезисы докладов и стендовые доклады десятой школы-конференции. Видеозаписи: на Mathnet и на Youtube (лекции, пленарные доклады, секционные доклады). 1) Авдеев Роман Сергеевич, «Чудесные многообразия в теории сферических многообразий» В теории алгебраических групп преобразований видное место занимают сферические многообразия — это алгебраические многообразия, снабжённые регулярным действием связной редуктивной группы $G$ таким образом, что борелевская подгруппа $B \subset G$ обладает плотной открытой $B$-орбитой. Наиболее известные примеры сферических многообразий — торические многообразия, многообразия флагов и симметрические пространства. С самого начала изучения сферических многообразий в 1980-е гг. внимание исследователей привлекала задача их классификации. Эта задача естественным образом разбивается на две независимых подзадачи: во-первых, классифицировать всевозможные однородные сферические многообразия (они называются сферическими однородными пространствами), а во-вторых, для каждого сферического однородного пространства описать его всевозможные открытые эквивариантные вложения. Полное решение второй подзадачи было известно ещё на заре развития этой науки благодаря знаменитой теории Луны–Вюста открытых эквивариантных вложений однородных пространств. Данная теория позволяет описать все сферические многообразия с фиксированной открытой $G$-орбитой в терминах так называемых цветных вееров, которые обобщают обычные вееры, используемые для классификации торических многообразий. Задача же классификации сферических однородных пространств оказалась гораздо более сложной и потребовала для своего решения ещё нескольких десятилетий. Принципиальный сдвиг в этом направлении произошёл в 2001 г. благодаря работе Луны, в которой он свёл задачу к задаче классификации так называемых чудесных многообразий (по-английски «wonderful varieties») и сформулировал гипотезу об их полном комбинаторном описании. Чудесные многообразия — это гладкие полные $G$-многообразия, обладающие плотной открытой $G$-орбитой и удовлетворяющие дополнительным условиям на конфигурацию остальных $G$-орбит. Эти многообразия являются сферическими и включают в себя многообразия флагов. В данном курсе планируется обсудить упомянутые выше сюжеты, чудесные многообразия и два различных подхода к доказательству гипотезы Луны, один из которых, инициированный самим Луной в той же работе 2001 г., в итоге привёл к успеху. 2) Гайфуллин Сергей Александрович, «Инвариант Макар-Лиманова и автоморфизмы аффинных алгебраических многообразий» Пусть $X$ — аффинное алгебраическое многообразие над полем $k$. Алгебраические подгруппы в группе регулярных автоморфизмов $X$, изоморфные аддитивной группе поля $k$ соответствуют локально нильпотентным дифференцированиям алгебры регулярных функций $k[X]$. Напомним, что локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД) данной алгебры $A$ называется такой линейный оператор $\delta\colon A\rightarrow A$, удовлетворяющий тождеству Лейбница $\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b$, что для любого $a\in A$ найдётся натуральное $n$ с условием $\delta^n(a)=0$. В 1996 году Леонид Макар-Лиманов предложил рассмотреть пересечение ядер всех ЛНД данной алгебры. Впоследствии это подкольцо получило название инвариант Макар-Лиманова и стало обозначаться $\mathrm{ML}(A)$. Слово «инвариант» отражает тот факт, что данное подкольцо инвариантно относительно регулярных автоморфизмов алгебры. В курсе лекций будет рассказано некоторое количество техник полезных для вычисления инварианта Макар-Лиманова алгебр (многообразий). Также мы рассмотрим два применения инварианта. Первое — применение для доказательства неизоморфности многообразий. Если две алгебры имеют неизоморфные инварианты Макар-Лиманова, то они не изоморфны. Именно этому применению инвариант обязан своей известностью. Классический пример — это доказательство неизоморфности кубики Кораса-Расселла, которая задаётся в четырёхмерном пространстве уравнением ${x+x^2y+z^2+t^3=0}$, и трёхмерного аффинного пространства. Второе — применение для описания группы автоморфизмов данного многообразия. Оказывается, что знание того, что некоторое подкольцо инвариантно, бывает полезно для изучения всей группы автоморфизмов. Также в лекциях мы рассмотрим аналоги инварианта Макар-Лиманова: инвариант Дерксона и некоторые модификации этих двух инвариантов. Записки лекций 3) Кузнецов Александр Геннадьевич, «Автоморфизмы трехмерных многообразий Фано» Многообразия Фано составляют наиболее важный класс рационально связных (то есть близких к рациональным) проективных алгебраических многообразий. Классификация гладких трехмерных многообразий Фано, полученная в работах Дж.Фано, В.Исковских, Ш.Мори и Ш.Мукаи — одна из жемчужин алгебраической геометрии XX века. В курсе я расскажу о наиболее интересных трехмерных многообразиях Фано, в первую очередь об «основной серии» (многообразиях с числом Пикара 1) и о их группах автоморфизмов. Ссылка на статью к курсу лекций и записки курса, прочитанного Ю.Г. Прохоровым в НОЦ МИАН. 4) Неретин Юрий Александрович, «Умножения двойных классов смежности и шлейфы бесконечномерных групп» Пусть $G$ — группа, $K$ — ее подгруппа, пусть $K\backslash G/K$ — пространство двойных классов смежности. Оказывается, что для «бесконечномерных групп» $G$ это фактор-пространство обладает естественным ассоциативным умножением. Естественность, например, означает, что для любого унитарного представления группы $G$ в пространстве $K$-неподвижных векторов действует полугруппа двойных классов (первый такой пример был обнаружен Исмагиловым в 1960гг.). Это бывает, в частности, для бесконечномерных групп матриц (над вещественным, конечным или $p$-адическим полем), для симметрических групп. Эти полугруппы удается явно описывать, и это приводит, с одной стороны, к неожиданным алгебраическим структурам, а с другой — к явным описаниям фактор-пространств на комбинаторном или геометрическом языке, причем эти описания работают и в конечномерной ситуации. Цель лекций — явные описания инвариантов и мультипликативных структур (унитарные представления будут присутствовать лишь в качестве необходимого фона). В частности, предполагается обсудить такие примеры: $G$ — произведение нескольких бесконечных симметрических групп, $K$ — диагональная подгруппа (или меньшая симметрическая подгруппа в диагонали). $G$ — бесконечномерная унитарная группа, $K$ — ортогональная подгруппа меньшего размера. 5) Панов Тарас Евгеньевич, «Слоения, возникающие из конфигураций векторов, двойственность Гейла и момент-угол многообразия» Ссылка на описание лекций 6) Петров Виктор Александрович, «Квадратичные формы и мотивы Чжоу» Пусть $F$ — поле характеристики не два. Пифагоровым числом поля $F$ назовем такое наименьшее число $n$, что любой элемент поля, представимый в виде суммы нескольких квадратов, представим уже в виде суммы $n$ квадратов. Например, пифагорово число поля вещественных чисел равно $1$, конечного поля равно $2$, а по теореме Лагранжа о сумме четырех квадратов пифагорово число поля рациональных чисел равно $4$. Можно предположить, что пифагорово число всегда является степенью двойки. Но оказывается, что для любого натурального $n$ существует поле с пифагоровым числом $n$. Что удивительно, для своего доказательства этот элементарный по формулировке факт требует привлечения тонких понятий из теории квадратичных форм (размерность Ижболдина) и мощной техники мотивов Чжоу. Конечно, эта теория имеет и другие применения, некоторые из которых я упомяну в курсе.