Алгебраической полугруппой называется алгебраическое многообразие $X$ с ассоциативным умножением $X\times X\to X$, являющимся морфизмом алгебраических многообразий. Алгебраическая полугруппа называется алгебраическим моноидом, если в ней есть нейтральный элемент. Про алгебраические полугруппы и моноиды известно довольно много. Например, можно доказать, что в любой алгебраической полугруппе есть идемпотент, а в любой коммутативной алгебраической полугруппе число идемпотентов конечно. При помощи идемпотентов можно изучать структурную теорию полугрупп, например, описать максимальные подмоноиды и подгруппы в $X$.

Группа обратимых элементов алгебраического моноида $X$ является алгебраической группой, открытой по Зарисскому в $X$. При этом $G$ аффинная тогда и только тогда, когда многообразие $X$ аффинное. В этом случае структуры моноида с группой обратимых элементов $G$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с групповыми вложениями $G$ в $X$. Это помогает классифицировать алгебраические моноиды в случае некоторых типов групп. Так, для редуктивных групп можно использовать теорию представлений со старшим весом, а для унипотентных групп изучать действия аддитивной группы поля с помощью локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций на $X$.

В курсе лекций мы докажем различные свойства произвольных алгебраических полугрупп и моноидов, обсудим классификацию редуктивных моноидов и некоторые результаты в разрешимых случаях.