В 1976 году Дэниел Квиллен и Андрей Суслин независимо доказали, что любой конечно-порожденный проективный модуль над кольцом многочленов $k[x_1,\ldots,x_n]$ над полем $k$ свободен. Этот замечательный результат явился решением так называемой проблемы Серра, возникшей в его статье 1955 года ''Faisceaux algébriques cohérents''. С геометрической точки зрения теорема Квиллена–Суслина выглядит совершенно естественной — она утверждает, что любое алгебраическое векторное расслоение на аффинном пространстве $\mathbb{A}^n_k$ является тривиальным. Аналогичное утверждение для обычных, топологических, векторных расслоений верно даже для произвольного стягиваемого пространства. Тем не менее, имеющиеся доказательства проблемы Серра — скорее алгебраические, чем геометрические, а их самая геометричная часть, неожиданно, связана с описанием расслоений на проективной прямой $\mathbb{P}^1$. В ходе лекций мы обсудим наиболее известное доказательство Квиллена, а также более ''элементарное'' доказательство Васерштейна.

Уже в момент решения проблемы Серра Квилленом и Суслиным специалистам было известно, что эта красивая задача является только частью гораздо более общего утверждения, называемого в настоящее время гипотезой Басса–Квиллена: если $R$ — произвольное регулярное коммутативное кольцо, то любой конечно-порожденный проективный модуль над $R[x]$ ''постоянен'' в том смысле, что он получается из некоторого модуля над $R$ расширением скаляров до $R[x]$. Регулярные кольца являются довольно прямолинейным обобщением координатных колец гладких алгебраических многообразий — одно из стандартных определений регулярности по сути и говорит, что размерность кольца в окрестности любой точки его спектра равна размерности касательного пространства в этой точке. В частности, регулярным является кольцо многочленов $k[x_1,\ldots,x_n]$, поэтому, учитывая, что модули над полем свободны, проблема Серра легко следует из гипотезы Басса–Квиллена индукцией по $n$. Обратно, как было показано Линделом (1981) и Попеску (1989), решение проблемы Серра влечет гипотезу Басса–Квиллена для всех регулярных колец, содержащих поле.

Другой важный класс регулярных колец — дедекиндовы кольца, включающие в себя, в частности, кольцо $\mathbb{Z}$ и другие кольца целых алгебраических чисел. Эти кольца — в точности регулярные кольца размерности 1, то есть их можно рассматривать как обобщенные гладкие кривые. Об этом часто забывают, но, на самом деле, и Квиллен, и Суслин в своих статьях 1976 года доказали гипотезу Басса–Квиллена для колец многочленов не только над полями, но и над дедекиндовыми кольцами. Более того, еще в 1965 году Паваман Мурти доказал гипотезу Басса–Квиллена для локальных регулярных колец размерности 2. К сожалению, их рассуждения пока не удается обобщить на более высокие размерности, и гипотеза Басса–Квиллена в общем случае остается широко открытой.

В 2017 году Аравинд Асок, Марк Оуа и Маттиас Вендт заметили, что некоторые результаты по гипотезе Басса–Квиллена могут быть обобщены с векторных расслоений, на главные $G$-расслоения, где $G$ — редуктивная алгебраическая группа над полем $k$. А именно, оказалось, что для любой изотропной редуктивной группы $G$ над полем $k$, и любого регулярного кольца $R$, содержащего $k$, любое главное $G$-расслоение на $R[x]$, являющееся локально тривиальным в топологии Зариского, расширено с $R$. Таким образом, перед нами встал уже обобщенный вариант гипотезы Басса–Квиллена, который утверждает, что аналогичный результат должен иметь место для всех регулярных колец $R$ и изотропных редуктивных групп (вернее, групповых схем), определенных над $R$. Как часто бывает в математике, это позволило взглянуть на проблему свежим взглядом и получить первое за много лет продвижение и в оригинальной гипотезе — Нинг Гуо и Фей Лью (2025) обобщили теорему Линдела–Попеску на регулярные кольца, гладкие над дедекиндовыми кольцами. В заключительной части нашего курса мы обсудим некоторые новые случаи обобщенной гипотезы Басса–Квиллена, в том числе, полученные автором.