На двойственном пространстве конечномерной комплексной алгебры Ли определена каноническая структура Пуассона. Иначе говоря, на симметрической алгебре задана скобка Пуассона–Ли . Подалгебра Пуассон-коммутативна, если . Интерес к таким подалгебрам возник в задачах гамильтоновой механики.
Пусть теперь — это редуктивная алгебра Ли. Наиболее известными Пуассон-коммутативными подалгебрами в являются подалгебры Гельфанда-Цетлина (ГЦ), построенные по цепочкам со свободными от кратностей правилами ветвления, и Мищенко–Фоменко (МФ), известные также как подалгебры “сдвига аргумента”.
Мы обсудим новые результаты, касающиеся полноты ГЦ- и МФ-подалгебр на (ко)присоединённых орбитах. Будет также представлена конструкция, позволяющая построить максимальную Пуассон-коммутативную подалгебру, соответствующую практически произвольной цепочке симметрических пар.