На двойственном пространстве $q^{\ast }$ конечномерной комплексной алгебры Ли $q$ определена каноническая структура Пуассона. Иначе говоря, на симметрической алгебре $S\left(q\right)$ задана скобка Пуассона–Ли $\{\cdot ,\cdot \}$. Подалгебра $A\subset S\left(q\right)$ Пуассон-коммутативна, если $\{A,A\}=0$. Интерес к таким подалгебрам возник в задачах гамильтоновой механики.

Пусть теперь $g$ — это редуктивная алгебра Ли. Наиболее известными Пуассон-коммутативными подалгебрами в $S\left(g\right)$ являются подалгебры Гельфанда-Цетлина (ГЦ), построенные по цепочкам со свободными от кратностей правилами ветвления, и Мищенко–Фоменко (МФ), известные также как подалгебры “сдвига аргумента”.

Мы обсудим новые результаты, касающиеся полноты ГЦ- и МФ-подалгебр на (ко)присоединённых орбитах. Будет также представлена конструкция, позволяющая построить максимальную Пуассон-коммутативную подалгебру, соответствующую практически произвольной цепочке симметрических пар.