На двойственном пространстве \(\mathfrak{q}^*\) конечномерной комплексной алгебры Ли \(\mathfrak{q}\) определена каноническая структура Пуассона. Иначе говоря, на симметрической алгебре \(S(\mathfrak{q})\) задана скобка Пуассона–Ли \(\{\cdot,\cdot\}\). Подалгебра \(A\subset S(\mathfrak{q})\) Пуассон-коммутативна, если \(\{A,A\}=0\). Интерес к таким подалгебрам возник в задачах гамильтоновой механики.

Пусть теперь \(\mathfrak{g}\) — это редуктивная алгебра Ли. Наиболее известными Пуассон-коммутативными подалгебрами в \(S(\mathfrak{g})\) являются подалгебры Гельфанда-Цетлина (ГЦ), построенные по цепочкам со свободными от кратностей правилами ветвления, и Мищенко–Фоменко (МФ), известные также как подалгебры “сдвига аргумента”.

Мы обсудим новые результаты, касающиеся полноты ГЦ- и МФ-подалгебр на (ко)присоединённых орбитах. Будет также представлена конструкция, позволяющая построить максимальную Пуассон-коммутативную подалгебру, соответствующую практически произвольной цепочке симметрических пар.