Первоначально, метод орбит был предложен А.А. Кирилловым в 1962 году для классификации унитарных представлений нильпотентных групп Ли. А именно, пусть (G) — односвязная нильпотентная группа Ли. Кириллов построил естественную биекцию между коприсоединёнными орбитами группы (G) и множеством классов изоморфизма неприводимых унитарных представлений этой группы в гильбертовых пространствах. Вскоре после работы Кириллова, Дискмье получил алгебраическую версию этого результата: коприсоединённые орбиты нильпотентной группы находятся в естественной биекции с примитивными идеалами в универсальной обёртывающей алгебре. Эти результаты можно мыслить, как проявление принципа соответствия между классической и квантовой механикой.

Важный вопрос, открытый уже более 50 лет, — это как перенести результаты Кириллова и Диксмье на случай полупростых групп и алгебр Ли. В этих лекциях я обсужу случай алгебр Ли, сосредоточившись на классических алгебрах. В этом случае можно надеяться установить естественную биекцию между эквивариантными накрытиями присоединённых орбит и эквивариантными квантованиями накрытий нильпотентных орбит. Мы также обсудим аналог метода орбит для разных интересных представлений полупростых алгебр Ли. А именно, для некоторых классов неприводимых модулей Хариш-Чандры, мы обсудим их классификацию в геометрических терминах.