Теория представлений конечномерных простых алгебр Ли (и примитивных идеалов в их универсальных обёртывающих алгебрах) — классический раздел алгебры. Существуют различные бесконечномерные аналоги простых алгебр Ли — к примеру, алгебры Каца–Муди или прямые пределы вложенных алгебр Ли классического типа. Про неприводимые представления таких алгебр (и соответствующие примитивные идеалы) известно довольно много, причём есть как сходства, так и серьёзные отличия от конечномерного случая.

Нильпотентные алгебры в каком-то смысле «противоположны» по своим свойствам простым. В конечномерной ситуации основным инструментом в теории представлений таких алгебр является алгебраическая версия метода орбит, описывающая примитивные идеалы в терминах коприсоединённого представления. Алгебры Ли, полученные как прямые пределы конечномерных нильпотентных алгебр, называются локально нильпотентными. Я расскажу, как работает метод орбит для таких алгебр, какие результаты становятся сложнее, а какие — проще по сравнению с конечномерным вариантом. Основным примером будут нильрадикалы борелевских подалгебр простых бесконечномерных алгебр Ли. (Классификация борелевских подалгебр — в отличие от конечномерного случая — нетривиальна и красива сама по себе; о ней я тоже расскажу.)