С каждой редуктивной абелевой группой $\Gamma$ автоморфизмов (полу)простой комплексной алгебры Ли $g$ связана градуировка алгебры $g$, градуирующими подпространствами которой служат весовые подпространства группы $\Gamma$. Таким образом получаются корневое разложение, обобщенное корневое разложение (ассоциированное с внешним автоморфизмом алгебры $g$), различные циклические градуировки и пр.

Интересно, однако, рассматривать и "неабелевы градуировки", под которыми я понимаю разложение алгебры $g$ на изотипные компоненты относительно некоторой редуктивной неабелевой группы автоморфизмов. В этом случае коммутатор двух градуирующих подпространств, вообще говоря, не лежит в каком-либо одном градуирующем подпространстве. Тем не менее, при некоторых дополнительных предположениях формулы для коммутаторов выглядят достаточно просто и доставляют полезную информацию о строении алгебры Ли. В частности, таким образом могут быть получены различные модели особых простых алгебр Ли.

В лекциях будет рассказано о нескольких типах таких неабелевых градуировок — коротких $SL\left(2\right)$-структурах, коротких $SO\left(3\right)$-структурах и коротких $SL\left(3\right)$-структурах.

Короткой $SL\left(2\right)$-структурой в алгебре Ли $g$ называется подгруппа $\Gamma \subset Aut\left(g\right)$, изоморфная $SL\left(2\right)$, относительно которой алгебра $g$ разлагается в сумму неприводимых компонент размерностей 1, 2 и 3. В любой простой алгебре Ли существует такая структура; в частности, в качестве $\Gamma$ можно взять трехмерную корневую подгруппу, отвечающую длинному корню. Структуры этого последнего вида связаны с кватернионными симметрическими пространствами, а также рассматривались ранее (не называясь таким образом) в связи с задачей геометрического квантования.

Короткой $SO\left(3\right)$-структурой в алгебре Ли $g$ называется подгруппа $\Gamma \subset Aut\left(g\right)$, изоморфная $SO\left(3\right)(=SO(3,C\left)\right)$, относительно которой алгебра $g$ разлагается в сумму неприводимых компонент размерностей не больше 5 (т.е. 1, 3 или 5). Такие структуры есть во всех простых алгебрах Ли. С каждой из них связано представление алгебры $g$ в виде суммы пространства косоэрмитовых матриц третьего порядка с нулевым следом над некоторой (вообще говоря, неассоциативной) алгеброй $J$ с инволюцией и алгебры дифференцирований $Der\left(J\right)$. Возникающие здесь алгебры с инволюцией называются структурируемыми, или алгебрами Кантора–Аллисона. К ним, в частности, относятся ассоциативные алгебры с инволюцией, йордановы алгебры (с тривиальной инволюцией), а также композиционные алгебры и их попарные тензорные произведения. Короткая $SO\left(3\right)$-структура на простой алгебре Ли $g$ позволяет представить соответствующую группу Ли $G$ как группу автоморфизмов "обобщенной эллиптической плоскости" над алгеброй $J$.

Короткой $SL\left(3\right)$-структурой в алгебре Ли $g$ называется подгруппа $\Gamma \subset Aut\left(g\right)$, изоморфная $SL\left(3\right)$, относительно которой алгебра $g$ разлагается в сумму подалгебры $Lie\left(\Gamma \right)$ и неприводимых компонент размерностей 1 и 3. В любой простой алгебре Ли, кроме $C_n$, такая структура существует и единственна с точностью до автоморфизма. В терминах этой структуры алгебра $g$ однозначно восстанавливается по некоторой кубической форме (в пространстве меньшего числа измерений), которую я называю нормой алгебры $g$. Доказывается, что кубическая форма $N$ в пространстве $V$ является нормой некоторой простой алгебры Ли тогда и только тогда, когда группа линейных преобразований, сохраняющих конус $N=0$, редуктивна и имеет в $V$ открытую орбиту.