С каждой редуктивной абелевой группой \(\Gamma\) автоморфизмов (полу)простой комплексной алгебры Ли \(\mathfrak{g}\) связана градуировка алгебры \(\mathfrak{g}\), градуирующими подпространствами которой служат весовые подпространства группы \(\Gamma\). Таким образом получаются корневое разложение, обобщенное корневое разложение (ассоциированное с внешним автоморфизмом алгебры \(\mathfrak{g}\)), различные циклические градуировки и пр.
Интересно, однако, рассматривать и "неабелевы градуировки", под которыми я понимаю разложение алгебры \(\mathfrak{g}\) на изотипные компоненты относительно некоторой редуктивной неабелевой группы автоморфизмов. В этом случае коммутатор двух градуирующих подпространств, вообще говоря, не лежит в каком-либо одном градуирующем подпространстве. Тем не менее, при некоторых дополнительных предположениях формулы для коммутаторов выглядят достаточно просто и доставляют полезную информацию о строении алгебры Ли. В частности, таким образом могут быть получены различные модели особых простых алгебр Ли.
В лекциях будет рассказано о нескольких типах таких неабелевых градуировок — коротких \(\mathrm{SL}(2)\)-структурах, коротких \(\mathrm{SO}(3)\)-структурах и коротких \(\mathrm{SL}(3)\)-структурах.
Короткой \(\mathrm{SL}(2)\)-структурой в алгебре Ли \(\mathfrak{g}\) называется подгруппа \(\Gamma \subset \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})\), изоморфная \(\mathrm{SL}(2)\), относительно которой алгебра \(\mathfrak{g}\) разлагается в сумму неприводимых компонент размерностей 1, 2 и 3. В любой простой алгебре Ли существует такая структура; в частности, в качестве \(\Gamma\) можно взять трехмерную корневую подгруппу, отвечающую длинному корню. Структуры этого последнего вида связаны с кватернионными симметрическими пространствами, а также рассматривались ранее (не называясь таким образом) в связи с задачей геометрического квантования.
Короткой \(\mathrm{SO}(3)\)-структурой в алгебре Ли \(\mathfrak{g}\) называется подгруппа \(\Gamma \subset \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})\), изоморфная \(\mathrm{SO}(3) (=\mathrm{SO}(3,\mathbb{C}))\), относительно которой алгебра \(\mathfrak{g}\) разлагается в сумму неприводимых компонент размерностей не больше 5 (т.е. 1, 3 или 5). Такие структуры есть во всех простых алгебрах Ли. С каждой из них связано представление алгебры \(\mathfrak{g}\) в виде суммы пространства косоэрмитовых матриц третьего порядка с нулевым следом над некоторой (вообще говоря, неассоциативной) алгеброй \(J\) с инволюцией и алгебры дифференцирований \(\mathrm{Der}(J)\). Возникающие здесь алгебры с инволюцией называются структурируемыми, или алгебрами Кантора–Аллисона. К ним, в частности, относятся ассоциативные алгебры с инволюцией, йордановы алгебры (с тривиальной инволюцией), а также композиционные алгебры и их попарные тензорные произведения. Короткая \(\mathrm{SO}(3)\)-структура на простой алгебре Ли \(\mathfrak{g}\) позволяет представить соответствующую группу Ли \(G\) как группу автоморфизмов "обобщенной эллиптической плоскости" над алгеброй \(J\).
Короткой \(\mathrm{SL}(3)\)-структурой в алгебре Ли \(\mathfrak{g}\) называется подгруппа \(\Gamma \subset \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})\), изоморфная \(\mathrm{SL}(3)\), относительно которой алгебра \(\mathfrak{g}\) разлагается в сумму подалгебры \(\mathrm{Lie}(\Gamma)\) и неприводимых компонент размерностей 1 и 3. В любой простой алгебре Ли, кроме \(C_n\), такая структура существует и единственна с точностью до автоморфизма. В терминах этой структуры алгебра \(\mathfrak{g}\) однозначно восстанавливается по некоторой кубической форме (в пространстве меньшего числа измерений), которую я называю нормой алгебры \(\mathfrak{g}\). Доказывается, что кубическая форма \(N\) в пространстве \(V\) является нормой некоторой простой алгебры Ли тогда и только тогда, когда группа линейных преобразований, сохраняющих конус \(N=0\), редуктивна и имеет в \(V\) открытую орбиту.