Логотип школы Школы-конференции
Московский государственный университет Самарский университет
Российский фонд фундаментальных исследований Laboratoire J.-V. Poncelet
Независимый Московский университет Лаборатория зеркальной симметрии
Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов
20092011201220142015201720182020202120232024
30 января - 4 февраля 2017 г., Москва
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова,
Независимый Московский Университет и Лаборатория им. Ж.-В. Понселе,
Лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ

Лекционные курсы
Алексей Владимирович Степанов (СПбГУ, Санкт-Петербург)

Редуктивные группы над кольцами

Начиная с работ Суслина и Квиллена, посвященных доказательству гипотезы Серра, метод локализации является одним из важнейших инструментов при работе с линейными группами над кольцами. В курсе представлена новая версия этого метода. Идея состоит в следующем. Используя локализацию в некотором универсальном кольце \(U\), например в афинной алгебре групповой схемы \(G\), получаем результат в \(G(U)\), после чего проектируем его в \(G(R)\) для произвольного кольца \(R\). Результаты, получающиеся на этом пути, не зависят от кольца \(R\).

При доказательстве используется только разложение Гаусса, "элементарные вычисления" и некоторые простые соображения о расщеплении. В курсе будут сформулированы следующие утверждения.

  1. Основные коммутационные формулы, включая мультикоммутационную формулу.
  2. Нильпотентная структура группы \(K_1^G (R) = G(R)/E(R)\).
  3. Ограниченность длин коммутаторов в элементарных образующих.
  4. Нормальное строение изотропных редуктивных групп.
  5. Строение решетки подгрупп группы Шевалле, содержащих элементарную подгруппу некоторой максимальной групповой подсхемы.

Все теоремы будут снабжены наброском доказательства для групп Шевалле. На первой лекции мы напомним основные определения, связанные с функториальным определением аффинной групповой схемы, однако для лучшего восприятия желательно, чтобы слушатели не в первый раз услышали о лемме Йонеда, общем элементе и фундаментальном идеале аффинной алгебры групповой схемы. Для этого достаточно прочитать пункты 1.1-1.7 и 2.1-2.4 книги J.C.Jantzen "Representations of algebraic groups".