Начиная с работ Суслина и Квиллена, посвященных доказательству гипотезы Серра, метод локализации является одним из важнейших инструментов при работе с линейными группами над кольцами. В курсе представлена новая версия этого метода. Идея состоит в следующем. Используя локализацию в некотором универсальном кольце \(U\), например в афинной алгебре групповой схемы \(G\), получаем результат в \(G(U)\), после чего проектируем его в \(G(R)\) для произвольного кольца \(R\). Результаты, получающиеся на этом пути, не зависят от кольца \(R\).

При доказательстве используется только разложение Гаусса, "элементарные вычисления" и некоторые простые соображения о расщеплении. В курсе будут сформулированы следующие утверждения.

1. Основные коммутационные формулы, включая мультикоммутационную формулу.
2. Нильпотентная структура группы \(K_1^G (R) = G(R)/E(R)\).
3. Ограниченность длин коммутаторов в элементарных образующих.
4. Нормальное строение изотропных редуктивных групп.
5. Строение решетки подгрупп группы Шевалле, содержащих элементарную подгруппу некоторой максимальной групповой подсхемы.

Все теоремы будут снабжены наброском доказательства для групп Шевалле. На первой лекции мы напомним основные определения, связанные с функториальным определением аффинной групповой схемы, однако для лучшего восприятия желательно, чтобы слушатели не в первый раз услышали о лемме Йонеда, общем элементе и фундаментальном идеале аффинной алгебры групповой схемы. Для этого достаточно прочитать пункты 1.1-1.7 и 2.1-2.4 книги J.C.Jantzen "Representations of algebraic groups".