Кристаллы Кашивары являются комбинаторной моделью конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Более точно, кристаллом конечномерного представления данной алгебры Ли \(\mathfrak{g}\) является множество, индексирующее некоторый специальный базис соответствующего представления квантовой группы \(U_q(\mathfrak{g})\), на котором образующие Шевалле \(e_i\) задают структуру ориентированного графа, ребра которого размечены простыми корнями алгебры Ли. Кристаллы являются очень интересным и важным комбинаторным объектом, содержащим в себе, в частности, такие интересные и нетривиальные комбинаторные конструкции как соответствие RSK и инволюции Шютценберже.

Кристаллы, связанные с данной алгеброй Ли, образуют моноидальную категорию, т.е. на них определена операция тензорного произведения. Тензорное произведение кристаллов некоммутативно, однако тензорные произведения двух кристаллов в разных порядках изоморфны, при помощи некоторого функториального изоморфизма, называемого коммутором. Эта структура похожа на braiding в категории представлений квантовой группы (и, фактически, происходит из нее), однако соотношению группы кос коммуторы не удовлетворяют. На самом деле, категория кристаллов является простейшим примером кограничной категории, где роль группы кос играет фундаментальная группа \(\pi_1(\overline{M_{0,n+1}}(\mathbb{R}))\) компактификации Делиня–Мамфорда пространства модулей вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченными точками. Я дам стандартное определение кристаллов и коммуторов и расскажу о новом подходе к категории кристаллов, проясняющем появление пространства Делиня–Мамфорда в этой науке, а также о том, как кристаллы возникают из квантовых интегрируемых систем.