Выпуклые тела Ньютона-Окунькова[KaKh] позволяют перенести теорию многогранников Ньютона из торической геометрии в более общий контекст, например, на многообразия с действием полной линейной группы \(GL_n(\mathbb C)\), симплектической группы \(Sp_{2n}(\mathbb C)\) или других классических групп. Мы начнём с элементарного определения тел Ньютона–Окунькова, а затем рассмотрим примеры, в которых тела Ньютона-Окунькова можно описать явно и получить известные многогранники из теории представлений. Центральными примерами будут многогранники Винберга–Литтельманна–Фейгина–Фурье[FFL] и классические многогранники Гельфанда–Цетлина для представлений \(GL_n(\mathbb C)\). В частности, мы явно вычислим неравенства, задающие многогранники Ньютона–Окунькова грассманнианов, с помощью простого рассуждения, анонсированного в [Ki16II, Example 2.9, Remark 2.10]. Мы также поговорим о приложениях многогранников Ньютона–Окунькова к исчислению Шуберта [KST],[Ki16I]. Будут сформулированы открытые вопросы.

У слушателей не предполагается знаний, выходящих за рамки первого курса мехмата.

Программа миникурса:

1. От многогранников Ньютона к выпуклым телам Ньютона–Окунькова. Теорема Кушниренко и её обобщения. Примеры многогранников Ньютона–Окунькова для многообразия флагов \(GL_3/B\), грассманниана \(G(2,4)\) и симплектического многообразия флагов \(Sp_4/B\).
2. Базисы и многогранники Гельфанда–Цетлина. Многогранники Винберга–Литтельманна–Фейгина–Фурье. Многообразие флагов и многообразия Шуберта. Связь многогранников с исчислением Шуберта.
3. Геометрические нормирования на многообразии флагов. Элементарное вычисление многогранников Ньютона–Окунькова грассманнианов и многообразий флагов для \(GL_n\) в случае геометрического нормирования. Открытые задачи.

Список литературы:
[FFL] E. Feigin, Gh. Fourier, P. Littelmann, PBW filtration and bases for irreducible modules in type \(A_n\), Transform. Groups 165, (2011), no. 1, 71–89
[KaKh] K. Kaveh, A. Khovanskii, Newton convex bodies, semigroups of integral points, graded algebras and intersection theory, Ann. of Math.(2), 176 (2012), no.2, 925–978
[Ki16I] V. Kiritchenko, Geometric mitosis, Math. Res. Lett., 23 (2016), no. 4, 1069–1096. arXiv:1409.6097 [math.AG]
[Ki16II] V. Kiritchenko, Newton–Okounkov polytopes of flag varieties, Transform. Groups, doi 10.1007/s00031-016-9372-y
[KST] Кириченко В. А., Смирнов Е. Ю., Тиморин В. А., Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда-Цетлина // Успехи математических наук. 2012. Т. 67. 4. С. 89–128.